Induksi Matematika pada Ketaksamaan

Hii, sobat SM4TIK!!! Senang sekali bisa jumpa lagi, semoga kita selalu sehat dan bahagia....aamiin.

Kali ini kita akan membahas secara singkat tentang materi Induksi Matematika pada Ketaksamaan. Mari menyimak.......😊😊😊

Induksi Matematika pada Ketaksamaan

Pada pembahasan sebelumnya sudah disampaikan tentang materi penerapan induksi matematika pada keterbagian. Kali ini kita akan mempelajari tentang penerapan induksi matematika pada ketaksamaan. Perlu diingat kembali tentang tanda ketaksamaan yaitu; <, >, ≤, dan ≥. Untuk lebih jelasnya mari kita simak pembahasan soal-soal berikut ini.

Contoh Soal

1.  Buktikan dengan induksi matematika bahwa 2ⁿ > n + 20, untuk setiap n ≥ 5.

Solution

Diketahui : 2ⁿ > n + 20, untuk setiap n ≥ 5

Step 1 : Proof u/ n = 5 → benar

                2ⁿ > n + 20

                2⁵ > 5 + 20

                32 > 25 → terbukti

Step 2 : Asumsikan u/ n = k → benar

                2ⁿ > n + 20

                2^k > k + 20 → terbukti

Step 3 : Adik u/ n = k + 1 → benar

              2ⁿ > n + 20

              2^k > k + 20

              2ⁿ > n + 20

              2^k+1 > (k+1) + 20

              2^k . 2¹ > k + 21

              2 . 2^k > k + 21

  (gunakan pernyataan pada asumsi step ke 2 sebagai alat bantu untuk membuktika pernyataan 2 . 2^k > k + 21)

  2^k > k + 20

  2 . 2^k > 2 (k+20) …………………(kali 2)

  2 . 2^k > 2k + 40

  2 . 2^k > (k + 21) + (k + 19) → terbukti

Jadi, 2ⁿ > n + 20, untuk setiap n ≥ 5 adalah benar.

2.    Buktikan dengan induksi matematika bahwa 2n + 1 < 2ⁿ, untuk setiap n ≥ 3.

Solution

Diketahui : 2n + 1 < 2ⁿ, untuk setiap n ≥ 3

Step 1 : Proof u/ n = 3 → benar

                2n + 1 < 2ⁿ

                   2(3) + 1 < 2³

                6 + 1 < 8

                7 < 8 → terbukti

Step 2 : Asumsikan u/ n = k → benar

              2n + 1 < 2ⁿ

  2k + 1 < 2^k → terbukti

Step 3 : Adik u/ n = k + 1 → benar

            2n + 1 < 2ⁿ

2k + 1 < 2^k

2(k+1)+1 < 2^k+1

2k + 3 < 2^k+1

(gunakan pernyataan pada asumsi step ke 2 sebagai alat bantu untuk membuktika pernyataan 2k + 3 < 2^k+1)

2k + 1 < 2^k

2k + 1 + 2 < 2^k + 2 ………………………..(ditambah 2)

2k + 3 < 2^k + 2

2k + 3 < 2^k + 2 < 2^k + 2^k

2k + 3 < 2^k + 2^k

2k + 3 < 2¹. 2^k

2k + 3 < 2^k+1 → terbukti

Jadi, 2n + 1 < 2ⁿ, untuk setiap n ≥ 3 adalah benar.

Demikian pembahasan kita kali ini, semoga bermanfaat dan jangan lupa untuk terus belajar. Karena hanya dengan belajarlah kita bisa mengetahui isi dunia. Sampai jumpa lagi di pembahasan lainnya.
Wassalam........😊

Share this post