Nilai Optimum Fungsi Objektif

Apa kabar sobat SM4TIK? Semoga selalu dalam keadaan sehat, ceria, dan bahagia.... Aamiin

Kali ini kita kan melanjutkan pembahasan tentang materi Program Linear. Pada kesempatan ini akan dibahas bagaimana cara menentukan Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif. 

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi Objektif z = ax + by

Fungsi tujuan dalam pembuatan model matematika dinyatakan dalam bentuk z = ax + by. Bentuk tersebut akan dioptimumkan (dimaksimumkan atau diminimumkan) tersebut disebut juga fungsi objektif. Jadi, fungsi objektif dari program linear adalah fungsi z = ax + by yang akan ditentukan nilai optimumnya. Misalnya sebagai berikut.

Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif

Dari uraian yang telah diberikan, kita dapat mengetahui tujuan utama dari program linear, yaitu menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari suatu fungsi objektif. Untuk menyelesaikan masalah program linear yang berhubungan dengan nilai optimum, langkah-langkah pemecahannya adalah sebagai berikut.

1. Merumuskan permasalahan ke dalam model matematika.
2. Membentuk sistem pertidaksamaan linear yang sesuai.
3. Menggambarkan kendala sebagai daerah di bidang Cartesius yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear.
4. Menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari fungsi objektif.
5. Menafsirkan/menjawab permasalahan.

Berkaitan dengan hal tersebut, ada dua metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum dari program linear, yaitu metode uji titik sudut.

Metode Uji Titik Sudut

Metode uji titik sudut adalah suatu metode untuk menentukan nilai optimum dari bentuk objektif z = ax + by dengan cara menghitung nilai-nilai z = ax + by pada setiap titik sudut yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel, kemudian membandingkan nilai-nilai yang telah diperoleh. Nilai yang paling besar merupakan nilai maksimum dari z = ax + by, sedangkan nilai yang paling kecil merupakan nilai minimum dari z = ax + by.

Contoh 1 

Jadi, diperoleh titik potong koordinat (0, 6) dan (4, 0). Kemudian, kita lukis pada bidang koordinat dan kita hubungkan dengan sebuah garis lurus. Setelah itu, tentukan

daerah penyelesaian dari kendala-kendala yang tersedia.

Dari Gambar 2.5, terlihat daerah penyelesaian dari kendala-kendala adalah daerah segitiga OAB, sehingga diperoleh titiktitik sudut dari daerah penyelesaian adalah O(0, 0), A(4, 0), dan B(0, 6). Selanjutnya, selidiki nilai bentuk objektif z = x + y untuk masing-masing titik sudut tersebut.

Dari tabel di atas, nilai maksimum bentuk objektif z = x + y adalah 6, yaitu untuk x = 0 dan y = 6.

Contoh 2 

Diketahui suatu model matematika sebagai berikut. Fungsi objektif: meminimumkan z = 8x + 10y

Tentukan nilai minimum dari model matematika tersebut.

Dari kedua tabel di atas, tentu kalian memperoleh titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat. Kemudian, kita lukis pada bidang koordinat dan kita hubungkan titik-titik potong tersebut dengan garis lurus. Setelah itu, kita arsir daerah penyelesaiannya, seperti gambar berikut. 

Dari gambar di atas, terlihat daerah penyelesaiannya adalah segi empat ABCD. Dengan demikian, diperoleh titiktitik sudut dari daerah penyelesaian adalah A(4, 0), B(8, 0), C(0, 9), dan D(0, 5). Selanjutnya, akan diselidiki nilai 8x + 10y untuk masing-masing titik sudut tersebut.

Dari tabel di atas, terlihat bahwa nilai minimum bentuk objektif z = 8x + 10y adalah z = 32, yaitu untuk x = 4 dan y = 0.

Contoh 3

Diketahui luas lahan parkir 360 meter persegi. Untuk sebuah mobil dan sebuah bus, berturut-turut membutuhkan lahan 6 m2 dan 24 meter persegi. Daerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan. Tentukan jumlah maksimum yang diterima tukang parkir jika biaya parkir untuk sebuah mobil Rp1.500,00 dan sebuah bus Rp3.000,00.

Jawab:

Terlebih dahulu kita terjemahkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika dengan cara membuat tabel seperti berikut.

Misalkan banyak mobil adalah x dan banyak bus adalah y. Dari tabel di atas dapat dibuat model matematika berikut.

Kita tentukan titik potong garis x + 4y = 60 dan x + y = 30 dengan sumbu koordinat Cartesius, seperti terlihat pada kedua tabel berikut.

Kita buat daerah himpunan penyelesaian kendala-kendala dalam bidang Cartesius. Kita tentukan titik potong antara dua garis dengan eliminasi.

x + 4y = 60

x + y = 30

3y = 30 

y = 10

Dengan menyubstitusikan y = 10 ke salah satu persamaan, diperoleh x = 20. Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah (20, 10).

Dari gambar di atas, terlihat daerah penyelesaiannya mempunyai empat titik sudut, yaitu O(0, 0), A(30, 0), B(20, 10), dan C(0, 15). Selanjutnya, kita selidiki nilai objektif z = 1.500x + 3.000y untuk masing-masing titik sudut. Perhatikan tabel berikut.

Dari tabel di atas, terlihat nilai maksimumnya adalah z = 60.000, yaitu untuk x = 20 dan y = 10.

Jadi, tukang parkir itu akan memperoleh penghasilan maksimum, yaitu Rp60.000,00 jika ia dapat menerima parkir mobil sebanyak 20 buah dan parkir bus sebanyak 10 buah.

Demikian pembahasan kita kali ini, semoga bermanfaat untuk menambah khasanah pengetahuan dalam memahami dan mempelajari matematika khususnya materi Program Linear. Jangan lupa untuk terus belajar, karena dengan belajar kita dapat membuka cakrawala dunia.

Wassalam.....😊😊😊

Share this post