Materi Integral

Hii, Sobat SM4TIK!
Jumpa lagi bersama dalam sm4tik.blogspot.com. Semoga selalu dalam keadaan sehat ceria....aamiin
Kali ini SM4TIK akan berbagi ringkasan materi Integral. Materi ini merupakan pembahasan untuk kelas XI SMA atau SLTA. Sebagai referensi, yuuks mari kita simak penjelasan berikut ini.

A. Pengertian Integral

Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 𝑓(𝑥) = 2𝑥³ . Setiap fungsi ini memiliki turunan 𝑓′ (𝑥) = 6𝑥² . Jadi, turunan fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥³ adalah 𝑓′(𝑥) = 6𝑥². Menentukan fungsi 𝑓(𝑥) dari 𝑓′(𝑥), berarti menentukan antiturunan dari 𝑓′(𝑥). Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial. Jika 𝑓(𝑥) adalah fungsi umum yang bersifat𝑓′(𝑥) = 𝑓(𝑥) , maka 𝑓(𝑥) merupakan antiturunan atau integral dari 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

B. Integral Tak Tentu 

1. Pengertian Integral Tak Tentu.

Pengintegralan fungsi 𝑓(𝑥) yang ditulis sebagai ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 disebut integral tak tentu dari 𝑓(𝑥). Jika 𝐹(𝑥) anti turunan dari 𝑓(𝑥), maka :

∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = F(x) + C

dengan :

• F(x) dinakamakan fungsi integral umum dengan F'(x) = f(x)
• f(x) disebut fungsi integran
• C konstanta real sembarang dan sering disebut sebagai konstanta pengintegralan.

2. Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Rumus-rumus integral tak tentu funsi aljabar yaitu sebagai beriktut.

Misalkan a konstanta real sembarang, f(x) dan g(x) masing-masing merupakan fungsi integran yang dapat ditentukan fungsi integral umumnya, maka :

Contoh :

Tentukan nilai integral ∫ 5x⁴.

Pembahasan:

∫ 5x⁴ = x⁵ + C

3. Integral Tentu 

Misalkan f(x) dan g(x) masing-maisng adalah fungsi-fungsi yang kontinu dan terdefinisi dalam interval tertutup [a, b], maka sifat-sifat umum integral tentu dapat disajikan dalam bentuk berikut :

Contoh :

Tentukan nilai integral berikut.

Pembahasan:

4. Pengintegralan dengan Rumus Inetgral Subtitusi

Teorema :

Misalkan dengan menggunakan subtitusi u = g(x), dengan g adalah fungsi yang mempunyai turunan, sehingga ∫ f(g(x)) g'(x) dx dapat diubah menjadi ∫ f(u) du. Jika F(u) adalah anti-pendiferensialan dari f(u), maka :

∫f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du = F(u) + C = F(g(x)) + C

Teknik perhitungan pengintegralan dengan menggunakan rumus integral subtitusi memerlukan dua langkah sebagai berikut.

• Memilih fungsi u = g(x) sehingga ∫ f(g(x)) g'(x) dx dapat diubah menjadi ∫ f(u) du.
• Tentukan fungsi integral umum f(u) yang bersifat F'(u) = f(u).

Rumus-rumus pengembangan di atas dapat kita rangkum sebagai berikut.

Contoh :

Tentukan nilai integral ∫ (2x + 5)⁹.

Pembahasan:

Misalkan u = 2x + 5, maka du/dx = 2 atau dx = ½ du.

Subtitusikan 2x + 5 = u dan dx = ½ du, maka ∫ (2x + 5)⁹ dapat diubah menjadi 

∫ u⁹ (½ du) = ½ ∫ u⁹

½ ∫ u⁹ du   = ½ (¹/₁₀ u¹⁰) + C

                 = ¹/₂₀ u¹⁰ + C

                 = ¹/₂₀ (2x + 5)¹⁰ + C

Jadi, ∫ (2x + 5)⁹ = ¹/₂₀ (2x + 5)¹⁰ + C

Demikian yang dapat SM4TIK bagikan. Semoga dapat bermanfaat sebagai referensi belajar dan memahami materi Integral. Terimakasih sudah berkunjung ke blog kami. Sampai jumpa kembali di artikel lainnya.

Wassalam

Share this post