Materi Turunan Fungsi

Hii, sobat SM4TIK!
Jumpa lagi bersama SM4TIK, semoga kita semua selalu dalam keadaan sehat seria..... aamiin
Kali ini kita akan membahas tentang materi Turunan. Turunan merupakan materi pembahasan kelas XI.
Turunan fungsi aljabar merupakan fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, sebagai contoh fungsi f menjadi f' yang memiliki nilai tidak beraturan. Pada dasarnya konsep turunan sering sekali kita pakai dalam kehidupan sehari-hari. Baik itu di dalam ilmu matematika atau ilmu yang lainnya.

Fungsi dari turunan sendiri yang sering kita ketahui merupakan menghitung garis singgung pada suatu kurva atau fungsi dan kecepatan. Tak hanya itu saja, konsep turunan ini juga sering dipakai dalam mencari laju pertumbuhan organisme (biologi), keuntungan marjinal (ekonomi), kepadatan kawat (fisika) serta laju pemissahan (kimia).

Seluruh fungsi tersebut pada dasarnya mempunyai konsep yang sama yakni konsep turunan. Untuk lebih jelasnya, yuk simak baik-baik ulasan di bawah ini:

Pengertian Turunan

Turunan atau disebut juga sebagai Derivatif merupakan suatu pengukuran kepada bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.

Secara umum, turunan akan menyatakan bagaimanakah sebuah besaran berubah akibat adanya perubahan besaran yang lainnya. Sebagai contoh: turunan dari posisi suatu benda yang kemudian bergerak terhadap waktu merupakan kecepatan sesaat oleh objek tersebut.

Proses dalam menemukan suatu turunan disebut sebagai diferensiasi. Serta kebalikan dari suatu turunan disebut sebagai Anti Turunan. Teorema atau pernyataan fundamental kalkulus menyebutkan bahwa antiturunan merupakan sama dengan integrasi. Turunan dan integral merupakan dua buah fungsi penting yang ada di dalam kalkulus.

Pengertian Turunan Fungsi Matematika

Sebagaimana telah disebutkan di atas, turunan fungsi atau yang disebut pula sebagai diferensial merupakan fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya. Misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai yang tidak beraturan.

Konsep turunan sebagai bagian utama dari materi kalkulus dipikirkan dalam waktu bersamaan oleh seorang ilmuan ahli matematika dan fisika berkebangsaan Inggris yang bernama Sir Isaac Newton, dan seorang ahli matematika berkebangsaan Jerman bernama Gottfried Wilhem Leibniz (1646 - 1727).

Turunan atau diferensial digunakan sebagai sebuah alat untuk menyelesaikan berbagai permasalahan yang dijumpai di dalam bidang geometri dan mekanika. Konsep turunan fungsi secara universal banyak sekali dimanfaatkan di dalam berbagai bidang keilmuan. Sebut saja misalkan bidang ekonomi : yang dipakai guna menghitung berupa, biaya total penerimaan. Dalam bidang biologi : dipakai untuk menghitung laju pertumbuhan organisme. Dalam bidang fisika : dipakai untuk menghitung kepadatan kawat. Dalam bidang kimia : dipakai unutk menghitung laju pemisahan. Dan dalam bidang geografi serta sosiologi : yang dipakai untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi yang lainnya.

Definis Turunan

Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan oleh :

dengan syarat limitnya ada.

Notasi Turunan

Turunan pertama fungsi y = f(x) pada xbisa kita notasikan seperti berikut.

• y' = f ' (x) ⇒ Lagrange
• ⇒ Leibniz
• Dxy = Dx [(f(x)] ⇒ Euler

Aturan Menentukan Turunan Fungsi

Turunan dapat kita tentukan tanpa adanya proses limit. Sebagai cara penyelesaiannya dirancang teorema atau pernyataan mengenai turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada  dua fungsi, aturan rantai untuk turuna fungsi komposisi, dan juga turunan fungsi invers. Untuk selengkapnya silahkan simak pembahasan berikut ini.

Turunan Dasar

Berikut ini adalah aturan dasar turunan ;

• Jika f(x) = c, diturunkan menjadi f’(x) = 0
• Jika f(x) = x, diturunkan menjadi f’(x) = 1
• Jika f(x) = xⁿ, diturunkan menjadi f’(x) = nx^n-1
• Jika f(x) = axⁿ, diturunkan menjadi f’(x) = anx^n-1
• Aturan kelipatan konstanta berlaku jika (kf)(x) = k.f’(x)
• Aturan rantai berlaku jika (fog)(x) = f’(g(x). g’(x)

Aturan Turunan Fungsi Aljabar

Inilah beberapa aturan turunan untuk fungsi Aljabar ;

1. Turunan untuk fungsi konstan, yaitu :  f(x) = k menjadi f’(x) = 0
2. Turunan untuk fungsi f(x) = kx menjadi f'(x) = k
3. Turunan untuk f(x) = xⁿ, untuk n 𝜖 Bilangan Real diturunkan menjadi f’(x) = nx^n-1
4. Turunan untuk f(x) = kxⁿ dengan n 𝜖 Bilangan Real menjadi f’(x) = knx^n-1
5. Turunan jumlah atau selisih dua fungsi : y = (u ± v), maka y’(x) = u’ ± v’
6. Turunan perkalian dua fungsi : f(x) = u . v , maka f’(x) = u’ . v + u . v’ 
7. Turunan pembagian dua fungsi : y = u/v

Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

1. f(x) = 5 ⇒ f '(x) = 0
2. f(x) = 2x ⇒ f '(x) = 2
3. f(x) = x² ⇒ f '(x) = 2x
4. y = 2x⁴ ⇒ y' = 2.4 x^4-1 = 8x³

5. y = 2x⁴ + x² - 2x ⇒ y' = 8x³ + 2x -2

Untuk mencari turunan dari fungsi yang memuat bentuk akar atau pecahan, langkah pertama yang harus kita lakukan yaitu merubah terlebih dahulu fungsi tersebut ke dalam bentuk pangkat (eksponen). Berikut terdapat beberapa sifat akar dan pangkat yang sering dipakai, atara lain :

• x^m. xⁿ = x ^m+n
• √x = x^1/2
• ⁿ√x^m = x^m/n

Contoh:

1. Tentukan turunan dari f(x) = 6/³√x

Jawab:

Contoh Soal Turunan Perkalian dan Pembagian

1. Tentukan turunan dari y = (2x²+2) (3x + 1)

Jawab:

Diketahui : u = 2x²+2 ⇒ u' = 4x dan v = 3x + 1 ⇒ v' = 3

 y' = u' . v + u . v'

⇒ y' = 4x (3x + 1) + (2x²+2) 3

⇒ y' = 12x² + 2x + 6x² + 6

⇒ y' = 18x² + 2x + 6

2. Tentukan turunan dari 

     y = (x² + 1)

           (x - 1)

Jawab:

Diketahui : u = x² + 1 ⇒ u' = 2x dan v = x - 1 ⇒ v' = 1

⇒ y' = 2x (x - 1) - (x² + 1) 1

                    (x - 1)²

⇒ y' = 2x² - 2x - x² - 1

                  (x - 1)²

⇒ y' =  x² - 2x - 1  

              (x -1)²

Demikian pembahasan singkat tentang materi Turunan Fungsi. Semoga bermanfaat dalam menambah pengetahuan khususnya mengenai mata pelajaran matematika. Terimakasih sudah berkunjung ke blog SM4TIK. Sampai jumpa lagi di pembahasan atau artikel lainnya.
Wassalam..........

Share this post