Konsep Dasar Vektor

Hii, Sobat!

Jumpa lagi tentunya masih bersama SM4TIK.  Semoga kita semua senantiasa diberikan kesehatan dan kebahagian. Aamiin. 

Saat ini, di zaman yang serba digital, teknologi makin canggih. Semua orang bisa menerima informasi dan belajar segala hal hanya dari gadget. Misalnya, ketika ingin mengetahui informasi mengenai petunjuk/arah jalan suatu tempat yang belum pernah dikunjungi. Kita dapat menggunakan sistem navigasi, yaitu GPS (Global Positioning System) dari gadget atau Hand Phone kita. Sistem GPS ini yang nantinya akan menentukan letak lokasi yang ingin kita tuju dengan bantuan sinyal satelit. Dalam waktu sekejap, kita sudah dapat menemukan arah lokasinya dengan tepat. Hebat, bukan?

Dari peristiwa tadi kita dapat menyimpulkan bahwa ternyata ada ilmu Matematika yang diterapkan dalam penentuan lokasi pada sistem GPS tersebut, yaitu vektor. Kita sudah tidak asing lagi dengan istilah vektor. Dalam Fisika, kita juga belajar materi vektor. Sebenarnya, pembahasan vektor di Matematika maupun Fisika tidaklah jauh berbeda. Pada kesempatan kali ini, kita akan mempelajari atau membahas tentang konsep dasar vektor, meliputi pengertian, vektor pada bidang dua dimensi, dan vektor dalam bidang tiga dimensi.

Pengertian Vektor

Tahu ga sih, vektor itu apa? 

Vektor adalah suatu besaran. Di dalam Fisika, kita mengenal ada dua jenis besaran, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Perbedaanya yaitu besaran skalar hanya memiliki nilai saja, sedangkan besaran vektor selain memiliki nilai juga memiliki arah. Contoh dari besaran vektor, diantaranya yaitu perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, medan listrik, medan magnet, dan masih banyak lagi yang lainnya. Mari kita perhatikan ilustrasi pada gambar berikut.

Rani berjalan dari arah barat ke timur (titik AB) sejauh 10 meter. Kemudian, ia berbalik arah menuju barat lagi (titik BA) sejauh 10 meter. Dari sini, kita bisa mengetahui bahwa jarak yang ditempuh Rani adalah AB + BA = 10 meter + 10 meter = 20 meter. Kita lihat besar perpindahannya. Perpindahan dapat diukur dari posisi awal ke posisi akhir. Pada saat Rani berbalik arah dan berjalan sejauh 10 meter, posisi akhir Rani ada di titik awal, yaitu titik A. Karena posisi awal Rani sama dengan posisi akhirnya. Maka, Rani tidak mengalami perpindahan (artinya : perpindahannya nol).

Jarak adalah panjang lintasan yang ditempuh suatu benda yang bergerak. Jadi, meskipun Rani berjalan berbalik arah ke posisi semula, jarak yang ditempuh Rani tetap jumlah dari titik AB ke titik BA. Oleh sebab itu, jarak tidak dipengaruhi arah pergerakan benda. Jarak merupakan contoh besaran skalar.

Beda halnya dengan perpindahan. Perpindahan merupakan perubahan kedudukan atau posisi suatu benda, sehingga memiliki arah. Rani yang awalnya berjalan ke timur sejauh 10 meter, kemudian berpindah ke arah barat sejauh 10 meter juga. Pada saat Rani berjalan ke barat, arahnya berlawanan dengan arah semula. Arah yang berlawanan dari arah semula ini akan bernilai negatif. Oleh sebab itu, besar perpindahannya adalah AB - BA = 10 meter - 10 meter = 0 meter. Perpindahan memiliki nilai dan arah, sehingga termasuk besaran vektor.

Dari ilustrasi di atas, semoga kita lebih paham bedanya antara besaran vektor dengan skalar. 

Mari kita lanjut ke pembahasan berikutnya!

Secara geometris, suatu vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah. Vektor dapat dinotasikan dengan huruf kecil bertanda panah di atasnya (, dst) atau huruf kecil bercetak tebal (a, b, c, dst). Pada gambar di bawah ini, terdapat ruas garisyang kita misalkan sebagai vektor. Vektor merupakan vektor yang memiliki pangkal di titik A dan ujung di titik B. Jika kita tulis vektor dalam bentuk matriks, maka hasilnya akan seperti berikut:

Nilai vektor bergantung pada arah tiap-tiap komponennya. Komponen x akan bernilai positif jika arahnya ke kanan dan bernilai negatif jika arahnya ke kiri. Sementara itu, komponen y akan bernilai positif jika arahnya ke atas dan bernilai negatif jika arahnya ke bawah. Simak contoh soal berikut ini!

Misalkan, terdapat sebuah vektor, sebagai berikut.

Untuk menentukan nilai vektor  , kita bisa melihat pergeseran arahnya. Pertama, untuk mencari nilai komponen x, kita lihat apakah vektor   bergeser ke arah kiri atau kanan. Ternyata, vektor   bergeser sejauh 4 satuan ke kanan, berarti nilai komponen x = 4. Lalu, untuk mencari nilai komponen y, kita lihat pergeseran vektor   ke atas atau ke bawah. Kalau kamu lihat, vektor   bergeser ke atas sejauh 4 satuan, sehingga nilai komponen y = 4. Jadi, diperoleh nilai vektor , yaitu:

Dalam penerapannya, vektor selalu menempati bidang atau ruang.

Vektor pada Bidang

Vektor pada bidang bisa disebut juga sebagai vektor dua dimensi. Pada vektor dua dimensi, kita akan mengenal yang namanya vektor posisi. Tahu ga sih, apa itu vektor posisi? Vektor Posisi adalah vektor yang berpangkal di pusat koordinat (0,0) dan berujung di suatu titik (x,y).

Perhatikan gambar di bawah ini, terdapat dua buah ruas garis, yaitu dan . Kita misalkan ruas garis sebagai vektor  dan ruas garis  sebagai vektor. Vektor  termasuk vektor posisi karena memiliki pangkal di pusat koordinat O (0,0) dan ujung di titik P(4,2). Sama halnya dengan vektor  yang juga merupakan vektor posisi karena berpangkal di titik O (0,0) dan ujungnya di titik R (2,4).

Titik Q pada koordinat kartesius di atas juga bisa menjadi vektor posisi, jika kamu tarik garis lurus dari pusat koordinat ke titik Q tersebut. Nilai vektor posisi akan sama dengan koordinat titik ujungnya. Jadi, vektor posisi dan vektor posisi.

Perhatikan gambar di atas. Pada koordinat kartesius tersebut, terdapat vektor 

(ke kiri 10 satuan, ke atas 2 satuan). Misalkan,dan, sehinggadanmerupakan vektor posisi bernilai dan. 

Jika kita menghitung nilai   -  , maka akan diperoleh:

Artinya, vektordapat diperoleh dari vektor posisi titik B dikurangi vektor posisi titik A

.

Contoh Soal

1. Diketahui koordinat titik B (-4, 1) dan koordinat titik A adalah ....
2. Diketahui koordinat titik P (2, -1) dan Q (5, 3). Jika vektor posisi R adalah = PQ, maka koordinat titik R adalah ....

Pembahasan

1. Diketahui : B (-4, 1) dan .

    Ditanyakan : Koordinat titi A?

Jawab :

Koordinat titik A akan bernilai sama dengan vektor posisi, jadi koordinat titik A adalah (-2,6).

2. Diketahui: P(2,-1), Q (5,3), dan  = PQ.

    Ditanya: Koordinat titik R?

Jawab :

Ingat, vektor posisi  akan sama nilainya dengan koordinat titik P dan vektor posisi akan sama nilainya dengan koordinat titik Q, sehingga:

Koordinat titik R akan sama nilainya dengan vektor posisi , jadi R (3,4).

Selanjutnya, kita akan menentukan panjang vektor pada bidang dua dimensi. Misalkan,merupakan vektor pada ruas garis. Vektordapat dinyatakan dengan . Pada gambar di bawah, OPR membentuk segitiga siku-siku dengan sisi alas x, sisi tegak y, dan sisi miring. Oleh sebab itu, panjang vektor(dinotasikan dengan ||) dapat dicari menggunakan teorema Pythagoras, yaitu:

Contoh

Diketahui vektor   dan . Tentukan | | dan || !

Jawab : 

a.  satuan panjang.

b.  satuan panjang.

Vektor Dalam Ruang

Mari kita perhatikan sistem koordinat kartesius dalam dimensi tiga berikut ini!

Vektor dalam ruang atau vektor tiga dimensi merupakan vektor yang memiliki tiga buah sumbu, yaitu x, y, dan z. Ketiga sumbu tersebut saling tegak lurus dan berpotongan di satu titik yang akan menjadi titik pangkal vektor tersebut. Penulisan vektor tiga dimensi dalam bentuk matriks sebenarnya tidak jauh berbeda dengan vektor dua dimensi. Hanya saja, pada vektor tiga dimensi, terdapat tambahan satu komponen, yaitu komponen z.

Misalnya pada gambar di atas, vektorterdiri dari tiga titik koordinat, yaitu x = 3, y = 4, dan z = 1, sehingga:

Panjang vektor dalam ruang juga dapat ditentukan dengan cara yang sama, yaitu:

Contoh

Diketahui vektor, tentukan || !

Pembahasan :

 Satuan panjang

Demikian pembahasan untuk materi Konsep Dasar Vektor. Semoga dapat bermanfaat dan menambah referensi dalam memahami tentang Vektor. Tetap semangat, jangan pernah menyerah, dan teruslah belajar. Sampai jumpa lagi di pembahasan vektor selanjutnya.

Wassalam.....

Share this post