Persamaan Eksponen || Matematika Peminatan Kelas X

Salam SM4TIK!!

Assalamualaikum Wr. Wb.

Senang sekali masih dapat berjumpa kembali dengan sobat SM4TIK. Masih dalam pembahasan Eksponensial. Setelah kita mempelajari fungsi eksponen dan penggunaannya, kita akan memperluas pembahasan dengan mempelajari persaman eksponen. 

Tahukah kamu, apakah itu Persamaan Eksponen???

Persamaan eksponen adalah suatu persamaan yang memuat variabel (peubah) sebagai eksponen bilangan berpangkat atau persamaan yang bilangan pokoknya memuat variabel (peubah) x. 

Contoh persamaan eksponen:

• 2^3𝑥−1 = 32^2𝑥 merupakan persamaan eksponen yang eksponennya memuat variable x.
• 16^𝑦 + 2. 4^𝑦 + 1= 0 merupakan persamaan eksponen yang eksponennya memuat variabel y.

Ada beberapa bentuk persamaan eksponen, diantaranya:

a. Bentuk 𝒂^𝒇(𝒙) = 𝒂^p

Untuk menyelesaikan persamaan ini digunakan sifat:

Jika 𝑎^𝑓(𝑥) = 𝑎^p ; a > 0 dan a ≠1, maka f(x) = p.

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari:
a. 5^2𝑥−1 = 125
b. 2^2𝑥−7 = 1/32
c. √3^3x−10 = 1/27 √3

Pembahasan

a. 5^2x−1 = 125
    5^2x−1 = 5³
    2x – 1 = 3
    2x = 4
    x = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2}
b. 2^2x−7 = 1/32
    2^2𝑥−7 = 2⁻⁵
    2x – 7 = –5
    2x = 2
    x = 1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1}

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {5/3}

b. Bentuk 𝒂^𝒇(𝒙) = 𝒂^𝒈(𝒙)

Penyelesaian persamaan ini digunakan sifat:

Jika 𝑎^𝑓(𝑥) = 𝑎^𝑔(𝑥) dengan a > 0 dan a ≠ 0, maka f(x) = g(x).

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut.

a. 9^𝑥²+𝑥 = 27^𝑥²−1
b. 8^{2x + 1} = 128^{x – 3}
c. ^𝑥+2√8 = ^𝑥−4√32
Pembahsan
a. 9^𝑥²+𝑥 = 27^𝑥²−1
    3²^(x²+𝑥) = 3³^{(x²−1)
    2(x²+ x) = 3(x² - 1)}
    2x²+ 2x = 3x² - 3
    x² - 2x - 3 = 0 
   (x - 3)(x + 1) = 0
   x = 3 atau x = -1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 3}

b. 8^{2x + 1} = 128^{x – 3}
    2³^{(2x + 1)} = 2⁷^{(x – 3)
    3(2x + 1) = 7(x – 3)
     6x + 3 = 7x - 21
      x = 24}   

^{Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {24}}

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-11}

c. Bentuk 𝒂^𝒇(𝒙) = 𝒃^𝒇(𝒙)

Penyelesaian persamaan ini digunakan sifat:

Jika 𝑎^𝑓(𝑥) = 𝑏^𝑓(𝑥) dengan a > 0 dan a ≠ 1, b > 0 dan b ≠ 1, dan a ≠ b maka f(x) =0.

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut.

a. 6^𝑥−3 = 9^𝑥−3
b. 7^{𝑥²−5𝑥+6} = 8^{𝑥²−5𝑥+6}

Pembahasan

a. 6^𝑥−3 = 9^𝑥−3
    x – 3 = 0
    x = 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 3 }

b. 7^{𝑥²−5𝑥+6} = 8^{𝑥²−5𝑥+6}
    x² – 5x + 6 = 0
   (x – 2)(x - 3) = 0
   x = 2 atau x = 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

d. Bentuk (𝒇(𝒙))^𝒈(𝒙) = (𝒇(𝒙))^𝒉(𝒙)

Untuk menyelesaikan persamaan bentuk di atas perlu dipertimbangkan beberpa kemungkinan:

1. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok = 1 atau f(x) = 1
2. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok = −1, dengan syarat g(x) dan h(x) bernilai genap atau g(x) dan h(x) bernilai ganjil.
3. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok = 0 atau f(x) = 0, dengan syarat g(x) dan h(x) bernilai positif.
4. Persamaan berlaku jika pangkatnya sama atau g(x) = h(x), dengan syarat untuk bilangan pokok = 0, pangkat bernilai positif, atau untuk f(x) = 0 maka g(x) dan h(x) bernilai positif.

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian (3𝑥 − 10)^𝑥² = (3𝑥 − 10)^2x

Pembahasan

(1) f(x) = 1 ⇒ 3x – 10 = 1
                   ⇒ 3x = 11
                   ⇒ x = 11/3
(2) f(x) = −1 ⇒ 3x – 10 = −1
                     ⇒ 3x = 9
                     ⇒ x = 3

Sekarang periksa untuk x = 3 apakah g(x) dan h(x) sama-sama genap atau sama-sama ganjil.

g(3) = 3² = 9 (ganjil)
h(3) = 2 . 3 = 6 (genap)

berarti x = 3 bukan penyelesaian.  

(3) f(x) = 0 ⇒ 3x – 10 = 0
                   ⇒ x = 10 /3

Periksa apakah untuk x = 10/3, g(x) dan h(x) sama-sama positif.
g(10/3) =(10/3)² = 100/9 > 0
h(10/3) = 2(10/3) = 20/3 > 0
g(x) dan h(x) > 0, maka x = 10/3 merupakan penyelesainnya.
(4) g(x) = h(x) ⇒ x² = 2x
                       ⇒ x² – 2x = 0
                       ⇒ x (x – 2) = 0
                      ⇒ x = 0 atau x = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 2, 10/3, 11/3}.

e. Bentuk 𝑨(𝒂^𝒇(𝒙))^𝟐 + 𝑩(𝒂^𝒇(𝒙)) + 𝑪 = 0

Untuk menyelesaikan persamaan di atas, dilakukan dengan cara mengubah persamaan tersebut ke bentuk persamaan kuadrat. Memisalkan a^f(x) = p, maka persamaan di atas dapat diubah menjadi persamaan kuadrat Ap² + B.p + C = 0.

Contoh 5

Tentukan himpunan penyelesaian dari 2^2𝑥 − 2^𝑥+3 + 16 = 0

Pembahasan

2^2𝑥 − 2^𝑥+3 + 16 = 0
2^2𝑥 − 2^𝑥. 2³ + 16 = 0

Dengan memisalkan 2^x = p, maka persamaan menjadi

⇒ p² – 8p + 16 = 0
⇒ (p – 4)(p – 4) = 0
⇒ p = 4

Untuk p = 4

⇒ 2^x = 4
⇒ 2^x = 2²
 ⇒ x = 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 2 }.

Demikian pembahasan kita kali ini. Terimakasih telah berkunjung ke blog kami. Semoga sedikit pengetahuan ini dapat menambah referensi kamu dalam mempelajari dan memahami khususnya materi Eksponensial. Sampai jumpa kembali di artikel dan pembahasan berikutnya yaitu tentang Pertidaksamaan Eksponen.

Wassalam......

Share this post